НИИ математики и механики С.-Петерб. госуниверситета
Библиотечная пл., дом 2, гор. Петродворец,, 198904, Россия
E-mail: G.Fed@pobox.spbu.ru

Рассмотрен эндохронный (с собственным, внутренним “временем”) подход для описания процессов вязкоупругости и разрушения в механике деформируемых тел.

Понятие “время” используется в механике сплошных сред как “обычное” физическое (лабораторное) время и как некоторое функциональное, характеризующее интенсивность процесса, “эндохронное” [1] (собственное, внутреннее (приведенное, трансформированное, модифицированное, термодинамическое и т.п.)) “время”, удобное при описании нетривиальных нелинейных процессов деформирования (ползучести и релаксации) [2-6], а также разрушения [5] тел при различных физико-химико-механических воздействиях на них (температурном, влажностном, ионизирующим облучением, агрессивной средой, статической и динамической монотонной и немонотонной нагрузкой и т.д.). Применяют различные “простые” и “сложные” физико-химико-механические аналогии (соответствия, гипотезы). В механике динамического разрушения используется “структурное” [7] (“инкубационное”) время, введение которого базируется на идее В.В. Новожилова и других исследователей о существовании структурного (масштабного) уровня разрушения, зависящего от вида среды и нагружения, и, следовательно, - некоторого характерного времени разрушения на данном уровне.

В настоящей работе излагается единый инвариантный “эндохронный” подход для учета различных воздействий на свойства сред при деформировании и разрушении, основанный на трансформировании времени, масштабы которого в общем случае могут быть сложными нелинейными функционалами. Основная математическая модель такого описания базируется на нелинейном суммирование отрезков трансформированного времени и линейной суперпозиции механических последействий, с затухающей “памятью”, в его пространстве. В этом пространстве определяющие уравнения вязкоупругости имеют вид наследственных квазилинейных интегральных уравнений Больцмана-Вольтерра, что удобно во многих приложениях, в частности, при обращении уравнений ползучести и релаксации, при использовании равенства трансформированных “времен” для напряжений и деформаций. Такой вид уравнений позволяет применять при оценке разрушения и прочности в качестве основы линейную теорию накопления повреждений и энергетический критерий. Данный подход представляет возможность обозримо и наглядно оценивать сложные нелинейные процессы вязкоупругого деформирования и разрушения при различных воздействиях. По функциям вязкоупругости, опорным кривым прочности и масштабам трансформирования времени можно оценивать свойства сред и структурные уровни.

В изотермическом случае уравнения ползучести и релаксации при одноосном растяжении (сжатии, чистом сдвиге), - механическом воздействии, имеют вид унифицированных [8] линейных интегральных соотношений Вольтерра в шкале трансформированного (собственного) “времени” [6]:

, , , , , ,
, (1)
где - деформация; - напряжение; - лабораторное время; , , и - , соответственно, операторы и функции ползучести и релаксации; - трансформированные “времена”, выражения для которых которые могут быть различными.

Рассмотрим некоторые из них:
,
, . (2)
Здесь , , , - операторы и масштабы “времени”.

Зависимость от трех аргументов позволяет использовать удобную в приложениях “иерархию” разного ранга масштабов , и , определяемых одни через другие, используемых для соответствующих видов сред и нагружений. В частности, удается представить в форме

,
, (3)
где - функция материала, равная нулю при - в области линейной вязкоупругости, и при , в случае нелинейного деформирования. .

Анализ экспериментальных и расчетных данных полимерных материалов показал, что для них можно применять функции и вида

, , . (4)
Коэффициенты и - постоянные среды, зависящие от знака : при ; в случае .

Применение коэффициентов и позволяет учитывать различие вязкоупругих свойств полимеров в нелинейной области при перемене знака производной , в частности, при растяжении и сжатии. Использование масштабов , и дает возможность описывать вязкоупругое поведение с ускоренным (упрочнением), “нормальным” и замедленным (разупрочнением) откликами, оценивать свойства сред. Проведенные опыты на различных классах изотропных и анизотропных полимерных материалов (термореактивных, термопластичных, аморфных линейных, сетчатых, частично кристаллических) дают право считать масштабы физическими характеристиками среды, “чувствующими” ее структуру и реакцию на воздействие. Установлена корреляция масштабов с другими функциями, соответствующая строению материалов. Необходимо отметить еще некоторые, в том числе, “непривычные” свойства трансформированного “времени”. В линейной области оно совпадает с лабораторным и в течении процесса возрастает, а в нелинейной области оно отличается от лабораторного, может возрастать и убывать (это связано с нелинейным преобразованием, возрастанием или снижением нагрузки или деформации), - но не бывает меньше лабораторного времени. В общем случае трансформированное “время” относительно, неравномерно, неоднородно и анизотропно [6].

Из (1) - (3) следует, что при , ( - единичная функция Хэвисайда) выполняется:

По этим вырожденным формулам можно определить функции , , и , а по соотношениям общего вида, варьируя параметры и сравнивая результаты вычислений и опытов, - остальные функции и коэффициенты.

В неизотермических процессах ,(5) где - полная, а - тепловая деформации. Механическую деформацию термоползучести можно определить по (1) - (4), используя температурно-временное соответствие (ограничимся “простым” соответствием, выполняемым для большей части материалов):

. (7)
Здесь - трансформированное по температуре и напряжению “время”; - масштаб трансформированного по температуре времени.

Аналогично (6), (7) выглядит уравнение терморелаксации. Результаты экспериментов показали, что масштаб чувствителен к строению среды, в частности, он “реагирует” на физические переходы (стеклообразное и высокоэластическое состояние).

(или ), применяя которые , можно по функциям ползучести определить функции релаксации, и наоборот. Конечно, это обращение является приближенным, поскольку строгая математическая взаимная обратимость соотношений (1) - (4) не доказана. Оно подтверждается экспериментальными данными.

Как было отмечено, критерии разрушения (прочности) при эндохронном подходе можно получить, заменив в соотношениях линейной теории лабораторное время на трансформированное. В случае одноосного растяжения нормированные критерии, в форме повреждаемости [9], могут иметь различный вид:

где - повреждаемость; - интегральный, типа наследственной теории повреждаемости или работы деформирования, оператор повреждаемости; , , , . Операторы повреждаемости получены путем применения соответствующих теорий прочности и эндохронных операторов (1) - (4), связывающих , .

Например, в соответствии с теорией накопления повреждений (интеграла Бейли [2, 9]),

. (12)
Здесь , - оператор и его функция; - функция (кривая) долговечности (длительной прочности) при ; , - оператор и его функция; - функция энергетической долговечности при . - мало изменяющаяся опорная функция, или вообще постоянная (абсолютный инвариант). - сильно изменяющаяся функция.

Структурно-временной критерий (СВК) динамического разрушения импульсного типа имеет вид [7]:

, (13)
где - структурное (инкубационное) время; - время разрушения; - напряжение; статическая прочность (временное сопротивление).

Для сравнения с другими теориями приведем нижний предел критерия (13) к нулю, путем замены переменной интегрирования: (при , , а при , ). Кроме того представим (13) в виде “повреждаемости” (10):

Можно сказать, что - это эндохронная, с собственным, внутренним временем (, ), форма СВК. Опорной функцией СВК, является . Сравнивая (14) с (11) и (12) нетрудно установить, что между ними может быть установлена взаимосвязь. СВК является следствием не только нелинейных (эндохронных) , но и линейных вариантов критерия накопления повреждений и энергетического (при соответствующем выборе их опорных функций). В [7] отмечено, что - структурное время характеризует масштабный (структурный) уровень динамического разрушения. Следует отметить, что (удачно названные) “масштабы” трансформированных “времен” характеризуют структурные (масштабные) уровни процессов предразрушения и разрушения.