Как известно, ограниченный спектр инерциальных скоростей от нулевой (v = 0) до световой (v = с) поделён между двумя представлениями об относительности – классическим и релятивистским – так, что в области малых значений v две скорости сочетаются между собой иначе, чем в движениях, быстрота которых сравнима с с = 3×10⁸ мc^1. Поэтому убеждённые релятивисты считают, что движение световой частицы Q складывается с попутной (+) или обратной () ему скоростью v = const излучателя по релятивистской формуле , а не просто как с  v. Между тем, даже в области скоростей, много меньших с, классическое правило c  v не является единственным способом вычисления переносных движений.

Пусть объект Q перемещается вдоль оси абсцисс системы отсчёта S* со скоростью v = const относительно её начала 0*, в то время как сама система S* со скоростью v* = const смещается по оси x системы S с неподвижным началом 0. (Рис. 1 и 2.) Это значит, что коллинеарные точки 0, 0* и Q образуют вырожденный треугольник 00*Q, та или иная трансформация которого во времени вроде бы задана одним и тем же правилом v = v + v*, вычисляющим скорость v объекта Q относительно пункта 0. Но у этого правила есть альтернатива, если величины v, v и v* определять не хроно-геометрическим, а иным способом. При этом пространственно-временная оценка инерциальных скоростей v, v и v* сопряжена с тремя проблемами, показывающими её неадекватность кинематике масс в природе.

Рис. 1 Рис. 2

В теоретической механике скорость v находят делением пути на время, предполагая их монотонность, то есть непрерывность. В этом смысле текущая координата x(t) объекта Q в системе S растёт пропорционально времени t. И если в момент t = 0 точка Q была в её нулевом пункте 0, то = v. Аналогично, скорость v* начала 0* движущейся системы S* будет задана хроно-геометрическим отношением , если при t = 0 нулевые точки 0 и 0* систем S и S* совпадали. Отсюда x(t) – x*(t) = x(t), где x(t) = vt – текущая координата объекта Q в системе S*. При этом пространственно-временной форме  = кинематического правила v – v* = v соответствует такой тип трансформации вырожденного 00*Q (см. рис. 1), когда попарная пропорциональность его переменных сторон x(t), x*(t) и x(t) со временем сохраняется. И это потому, что в стартовый момент t = 0 точки 0, 0* и Q находились в одном месте общей оси абсцисс систем отсчёта S и S*. Однако существует и другое расположение трёх точек на прямой x, альтернативное рассмотренному.

Представим, что за время t =  объект Q удалился от начала 0 неподвижной системы отсчёта S на расстояние x() = v и в этот момент вслед ему двинулась система S* (см. рис. 2). Ясно, что инерциальную скорость v* системы S* определит её сдвиг x* за время t, последовавшее за периодом . То есть v* = , тогда как v = = = , где x – перемещение объекта Q в системе S за период t. Причём x – x* = x – это пробег точки Q за время t в движущейся системе S*. И как бы нет повода сомневаться, что хроно-геометрические формы  = и  = кинематического правила v – v* = v пропорциональны с коэффициентом, равным единице. Однако моменты старта точек Q и 0* от пункта 0 разделяет время , в результате чего трансформация вырожденного 00*Q не подобна той, что рассмотрена в предыдущем абзаце (см. рис. 1).

Покажем, что разностные формы x – x* = x и x(t) – x*(t) = x(t) представленияправил x = x + x* и x(t) = x(t) + x*(t) аддитивного деления интервалов x и x(t) на две части игнорируют логико-математическую проблему, обнажающую противоречие между геометрией и арифметикой.

Пусть, например, x  2. Тогда пробеги x и x*, не стыкующиеся между собой на оси x (см. рис. 2), вроде бы могут быть одинаковыми и равными единице каждый. Однако дихотомия – деление сдвига x пополам – проблематична, поскольку

 [x + x*] > 2, если x  [0, 1] и x*  [1, 2], так как точка-число 1 входит в интервал [x + x*] дважды;

 [x + x*] < 2, когда x  [0, 1) и x*  (1, 2], поскольку точка-число 1 исключена из интервала x;
 x  x* при x  [0, 1] и x*  (1, 2] или x  [0, 1) и x*  [1, 2].

Понятно, что диарезис геометро-числового образа x  [0, 2], то есть его разбиение на две неравные части, сопряжён с той же проблемой принадлежности точки деления, которую нельзя ни исключить, ни учесть дважды, ни отнести к какому-либо из слагаемых x и x*, поскольку величины x  [0, x] иx*  (x, 2], как интервал и полуинтервал соответственно (здесь x – число, такое, что x  (0, 2)), не тождественны семантически и, значит, их нельзя складывать друг с другом.

Ясно, что проблема точки деления, сформулированная языком теории множеств, порождена аксиомой непрерывности, нужной геометрии, но чуждой арифметике. И тем не менее из сомнительных равенств x – x* = x и x(t) – x*(t) = x(t) делением на t и t соответственно в классической механике получают “физический закон” v – v* = v, где числа-скорости v и v характеризуют движение объекта Q в инерциальных системах отсчёта S и S*. Но при этом сомнительным оказывается сам способ оценки скоростей v, v и v*, поскольку он противоречит определению числа, данному Ньютоном: “Под числом мы понимаем… отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода (курсив мой – О. Ч.), принятой нами за единицу”.

В самом деле, метрологический (измерительный) способ получения чисел с очевидностью не распространяется, например, на величины x и t, которые разнородны и потому не аддитивны. И тем не менее, их отношение считают действительным числом, характеризуя им вектор v, разделённый на суммируемые отрезки v и v*, прописанные в разных системах отсчёта – S и S* соответственно. Причём системы S и S* в классической механике рассматривают как континуумы мнимых (геометрических) точек, а инерциальные скорости v, v и v* находят, связывая с каждой такой точкой воображаемые часы, синхронизированные с другими репер-часами в пространствах S и S*. Например, объект Q в системе S как бы останавливает часы в каждой пройденной им точке. И по разности t показаний двух остановившихся часов и по расстоянию x между ними количественно определяют его скорость v.

Но хроно-геометрическая оценка скорости, во-первых, опирается на аксиому непрерывности пространства и времени, не позволяющую разделить интервал x на суммируемые части x и x*, а во-вторых, не корректна метрологически, поскольку практикует “измерение пути временем”, получая v как = и v как = . При этом отсчёт переменных расстояний x(t), x(t) и x*(t), попарная пропорциональность которых не зависит от времени (см. рис. 1), начинается от точек 0 и 0*, движущихся с относительной скоростью v* = = . И в этом нельзя не увидеть ещё одну проблему инерционной кинематики – позиционную, третью по счёту, но первую по важности.

Представим, что при t = 0 начала 0 и 0* инерциальных систем отсчёта S и S* совпадали, а к моменту t =  они разошлись на дистанцию v*. (Рис. 3). Пусть в этот момент пункт 0*, как движущийся излучатель, произвёл световую вспышку, фрагменты которой со скоростью c = const стали удаляться от него во все стороны. И хотя данная схема не нова, однако до сих пор она не понята правильно.

Рис. 3

Специальная теория относительности (СТО) утверждает, что скорость отдельной частицы Q сферического светового фронта в неподвижной системе отсчёта S равняется той же скорости с, что и в движущейся системе S*. Но в классическом понимании вектор c будет переменным и по значению и по направлению, если наблюдать за полётом фотона Q из нулевого пункта 0 системы S, находящегося на расстоянии v*от его стартовой позиции 0 (см. рис.3). Ведь направленный отрезок c является проекцией вектора с* = с + v* на ось 0Q, поворачивающуюся вокруг точки 0 в плоскости, определяемой ещё двумя точками – 0* и Q. И только по фиксированному направлению 0Q частица Q перемещается с постоянной скоростью с*, которую в классической механике находят сложением векторов c и v* по правилу параллелограмма.

Таким образом, скорость кванта Q переменна для любого точечного наблюдателя в системе S, позиционированного вне оси 0Q. Аналогично, в движущейся системе S* точечный наблюдатель, находящийся вне траектории 0*Q фотона Q, тоже будет считать его скорость по отношению к себе не постоянной. В этом и состоит главная проблема метода координат, почему-то проигнорированная как классическим, так и релятивистским представлениями об относительности движений.

 не должна быть векторной, так как принятая в геометрии аксиома непрерывности не даёт арифметизировать (оценивать численно) и уверенно суммировать направленные отрезки-скорости, применяемые в классическом описании относительных и переносных движений;

 не может опираться на хроно-геометрическую оценку скорости делением пути на время, не корректную с точки зрения логики измерений и определения действительного числа;

 не обязана пользоваться методом координат, проблемным для наблюдателя, определяющего скорость движущегося объекта из произвольной позиции, не принадлежащей его траектории.

Математические модели, удовлетворяющие перечисленным требованиям, представлены в работах [1-7]. Их основой служит метод особых чисел двойной размерности, вычисляющий инерционную кинематику без пространстве и времени и формализующий криволинейное движение массивных тел без сил и энергий. Это значит, что бессиловыми оказываются перемещения космических объектов в состоянии невесомости под действием гравитации. Здесь же рассмотрим элементарную задачу, показывающую, что даже в том случае, когда наблюдатель 0 и отслеживаемые объекты 0* и Q позиционированы коллинеарно, скорость не является единственной мерой относительной кинематики двух точек, движущихся “по инерции”.

Представим, что из пункта А в пункт B выехал велосипедист 1 и одновременно навстречу ему из пункта B стартовал мотоциклист 2. (Рис. 4.) Примем относительную скорость v = const двух спортсменов единичной и по отношению к заданному масштабу оценим их скорости v₁ и v₂. А поскольку v₁ + v₂ = v, где v  1, то аддитивные величины v₁ = const и v₂ = должны быть взаимосвязанными числами  и , дополняющими друг друга до единицы.

Пусть v₁  и v₂  . Тогда при v₁ = v₂ встреча спортсменов произойдёт в пункте C, серединном для дистанции AB = s. Если же v₁ < v₂, то спортсмены встретятся в пункте D, условно делящем расстояние s на неравные части s₁ и s₂.

Рис. 4

Заметим, что при v₁ < и v₂ > судьи-наблюдатели в характерных пунктах C и D (назовём их “Эйнштейн” и “Ньютон”) не равноправны геометрически. Ведь расстояния s_1C = – v₁t и s_2C = – v₂t между спортсменами и позицией “Эйнштейна” в серединной точке C дистанции s со временем сокращаются так, что = var, тогда как дистанции s_1D = s₁ – v₁t и s_2D = s₂ – v₂t между ними и “Ньютоном”, находящимся в точке D, зависят от времени t по-иному: = const. Причём = = . А это значит, что вырожденный треугольник 12C с “Эйнштейном” в вершине C трансформируется иначе, чем треугольник 12D, обозначенный позицией “Ньютона” между встречно движущимися точками 1 и 2.

Очевидно, что кинематические триплеты 12C и 12D аналогичны ранее выделенным (см. рис. 1 и рис. 2) треугольникам из нулевых точек 0 и 0* инерциальных систем отсчёта S и S* и объекта Q, отличающимся хроно-геометрическими формами = + и = + кинематического правила v = v + v*. Ведь разницы между теми и другими нет, поскольку в задаче с “Эйнштейном” и “Ньютоном” эти треугольники сведены вместе и представлены в графической форме, удобной для математических исследований.

Итак, оценивая скорости v₁ и v₂ велосипедиста 1 и мотоциклиста 2 численно, судьи-наблюдатели в пунктах C и D маршрута AB = s могут воспользоваться двумя методами – обычным хроно-геометрическим и скалярным, например, принимая v  1. Но “Ньютон”, вооружённый рулеткой и часами, определит v₁ как и v₂ как , где T – время от старта до встречи спортсменов в пункте D интервала s = s₁ + s₂. И этот хроно-геометрический расчёт (по периоду T) можно назвать равнодлительным. Напротив, те же скорости судья “Эйнштейн” найдёт как v₁ = и v₂ = , где T₁ > T и T₂ < T – периоды времени, затрачиваемые спортсменами 1 и 2 на преодоление расстояния s₀ = от стартовых позиций A и B до серединной точки C интервала s. Ясно, что данный способ, тоже хроно-геометрический, следует именовать равнодлинным, поскольку расчёт “Эйнштейна” строится на пробеге s₀.

Но при том, что оба способа – равнодлительный и равнодлинный – дают одинаковые результаты (v₁ = = и v₂ = = ), они неестественны, поскольку хроно-геометрический метод в инерционной кинематике, как показано выше, проблематичен геометрически и сомнителен метрологически. То есть, геометрическое равенство s = s₁ + s₂ = s₀ + s₀ справедливо с точностью до точки деления интервала s на две неравные части (диарезис) или пополам (дихотомия), а отношение пути ко времени (например, s к T, что равняется v) противоречит определению действительного числа как результата сравнения двух однородных величин – измеряемой и масштаба. Поэтому предпочтительнее выглядит скалярная оценка скоростей v₁ и v₂ числами  и , такими, что  +  = 1, где 1  v.

Казалось бы, значения парных чисел  < и   задаёт позиция “Ньютона” в пункте D встречи спортсменов 1 и 2 через период T, который примем за единицу времени. При этом протяжённость s маршрута между пунктами A и B также должна быть единичной, поскольку v = . Но, не возражая против аддитивного деления 1 =  +  относительной скорости спортсменов 1 и 2 на равные или неравные части  и , “Ньютон” и “Эйнштейн” могут принять её как за особую единицу 1, так и считать её единицей 1*, формально вдвое большей, чем 1. Докажем это.

Скорость v  1, принятую масштабом, назовём протоскоростью и не будем разлагать её на пространственный s  1 [L] и временной T  1 [T] компоненты, отношение которых также равняется единице. Покажем, что мера 1инерционной кинематики, избавленной от хроно-геометрических представлений о скорости, не единственна хотя бы из-за неравноправия неподвижных наблюдателей в пунктах С и D, выражаемого отношениями = var и = const полярных координат встречно движущихся точек 1 и 2.

Рис. 5

Заметим, что в процессе сближения объектов 1 и 2 обязателен момент t = , когда они окажутся на расстояниях s₁* = и s₂* = от серединной точки C интервала s  1. (Рис. 5.) Пусть через время T после этого быстрая точка 2 достигнет пункта C, что определит её скорость v₂ = другим пространственно-временным отношением = = w₂. При этом пробег точки 1 за время T обозначим как s₁, после чего её скорость v₁ = будет определена как = w₁.

Казалось бы, равнодлительные формы 1) и 2) равноценных правил v₁ + v₂ = v и w₁ + w₂ = v, называемых классическим законом сложения скоростей, пропорциональны с коэффициентом, равным единице. Однако в случае v₁ = v₂ у этих правил просматривается иная пропорциональность.

Выражение (2) разделим на s₁* = s*, что надо понимать как замену единичного расстояния s масштабом s* = . Но такое геометрическое понимание поверхностно, так как из 2*) с учётом и получается 3) , где v₁   и v₂   по определению протоскорости v  1. А так как и  +  = 1, то величина , нормирующая скорость в выражении (3), в общем случае равняется и принимает значение , когда v₁ = v₂ = , то есть при s* = и T = . Но это значит, что уменьшение вдвое единицы времени T и сокращение вчетверо масштаба длины s назначает новую единицу движения, в результате чего выражения (2) и (3) при v₁ = v₂ становятся пропорциональными с коэффициентом 2.

А теперь заметим, что сближение точечных позиций D “Ньютона” и C “Эйнштейна” (см. рис. 4), характеризуемых взаимно обратными числами  = и  = и зависимостями = const и = var соответственно, приводит к антисимметричному изменению скоростей v₁  и v₂ , при котором они стремятся к своему среднему арифметическому с разных сторон – первая увеличиваясь, а вторая уменьшаясь численно. Но, как видно из приведенного расчёта, совпадение точек D и C посередине интервала s  1 делает скаляры  = и  = отличающимися вдвое, хотя, казалось бы, при v₁ = v₂ = они должны быть равны одной единице.

Этот арифметический факт будем понимать в том смысле, что “Ньютон” и “Эйнштейн” могут характеризовать относительную скорость велосипедиста 1 и мотоциклиста 2 разными единицами – протоскоростью v  1 или квадроскоростью w  1*, связанными так, что 1* = 21. Тем более, что выражения (1) и (2*), отличающиеся множителем , при v₁  0, когда v₂  v  1, также утрачивают обычную пропорциональность.

В самом деле, s*  , s₁  0, s₂  0 и T  0 в равенстве (2*), если v₂  1 и, соответственно, v₁  0. Но в таком случае при v₁  0, когда аддитивного деления протоскорости v  1 на две части фактически нет, это равенство и его аналог (2) приобретут форму неопределенности и утратят пропорциональность с тождеством (1), которое примет понятный вид , поскольку s₁  0 и s₂ = s  1 при v₂ = v  1. А это еще раз доказывает, что вновь введенная единица 1* равномерного движения по прямой, названная квадроскоростью, вдвое превышает протоскорость 1, получившую арифмометрическое определение в рамках скалярной формы  +  = 1.

Итак, неподвижные наблюдатели  “Ньютон” в позиции D и “Эйнштейн” в позиции С – не только не равноправны математически из-за отношений = const и = var, но вправе не согласиться друг с другом по поводу всеобщности и единственности правила  +  = 1, численно модифицирующего классический закон v₁ + v₂ = v сложения инерциальных скоростей v₁ и v₂ велосипедиста 1 и мотоциклиста 2. Ведь относительную скорость 1 двух спортсменов можно переопределить в иную меру механического движения 1*, которая названа квадроскоростью. И эта мера объективно проявляется в различных явлениях физики, например, в эксперименте Физо.

В одной из своих статей Эйнштейн охарактеризовал опыт Физо как решающий эксперимент (experimentum crucis) в пользу специальной теории относительности. А в 1952 году, за год до кончины, высказался за его улучшенное повторение. И действительно, сомнения в соответствии данных опыта 1851 года релятивистским принципам возникают как при знакомстве с его предисторией, так и при анализе способа подведения полученных результатов под формализм СТО.

Как известно, в 1818 году Френель объяснил опыт Араго (1810 г.) по преломлению света от далёкой звезды (к которой Земля сначала приближалась со скоростью 30 кмс^1 и от которой через полгода удалялась с той же орбитальной скоростью) частичным увлечением светоносной среды (эфира) движущимся прозрачным телом (призмой). А в 1851 году Физо поставил опыт по проверке формулы Френеля для скорости c* света, распространяющегося внутри и вместе с прозрачным телом, скорость v которого попутна (+) или встречна () световому потоку. Здесь n > 1 – показатель преломления оптического тела, а k – коэффициент “частичного увлечения”, равный .

Количественный результат эксперимента Физо заметно (на 13 %) отличался от предсказаний теории Френеля, но определённо был не в пользу классического сложения скоростей и v (света в воде с коэффициентом преломления n = 1,33 и воды в лабораторной установке с двумя параллельными трубами общей длиной 2L). А точнее – формула Френеля предрекала сдвиг картины интерференции на 0,20 полосы, тогда как средняя величина ряда измерений составила 0,23 полосы, что ровно вдвое меньше сдвига размером 0,46 полосы, рассчитанного по классической формуле c_n  v.

Вспомним, что расчётная разность l = ct хода световых лучей, прошедших сквозь воду в трубах встречно () и попутно (+) её течению, задана периодом . Причём k = 1 при классическом сочетании скоростей c_n и v, тогда как по теории Френеля k = .

Заметим, что при k = 1 будет , где l – перемещение воды в трубе за время Т = 1 с, а 1  v. При этом квадроединица 1²  v² появляется в алгебраически модифицированной формуле для расчётного периода t после нормировки её знаменателя по v² и, скорее всего, не равна масштабу 1.

В самом деле, если предположить, что скорость v  1 водного потока ровно в два раза отличается от величины v² 1², нормирующей квадрат c_n² скорости света в воде, то при формальном переопределении масштаба 1 в единицу механического движения с размерностью [v²], последний надо удвоить, то есть убрать коэффициент 2 перед числом 1 в формуле для t. В итоге геометрическая разность l = ct хода световых лучей в воздухе, определявшая сдвиг интерференционных полос в установке Физо, численно сократится вдвое и предпринятое переопределение скорости 1 в квадроскорость 1² даст результат , в точности равный опытному.

Таким образом, опыт Физо способен проверить и подтвердить введённое выше понятие квадроскорости, если его повторение с другими трубами (по длине L), с иной жидкостью (по показателю преломления n) и с различными скоростями её течения даст результат, вдвое меньший рассчитанного по классическому правилу c_n  v. При этом лабораторная установка, подобная той, что пользовался Физо, имеется у Почтарёва А. П. в г. Краснодаре.

А теперь обратимся к релятивистской трактовке эксперимента Физо и вспомним, что в 1907 году Лауэ вывел формулу Френеля из релятивистского закона сложения скоростей , дважды пренебрегая членами второго порядка малости. (Здесь n > 1 – показатель преломления оптического тела, движущегося попутно свету со скоростью v << c.) И на этом основании результат опыта Физо посчитали вполне релятивистским. Но расчетные модели Френеля и Эйнштейна, коррелирующие при малых значениях v, по разному решают такую задачу:

 какой должна быть скорость v = const протяженного световода Т, чтобы распространяющийся в нем свет удалялся от излучателя И с той же скоростью c = const, что и свет, обегающий прозрачное тело снаружи? (Рис.6.)

Из формулы Френеля при c* = c получается , откуда при n = 1 выходит . Это значит, что пустой трубке Т предписана скорость , хотя условию задачи при n = 1 удовлетворяет любое значение v, даже нулевое.

Рис. 6

Как видно, решение по Френелю исключает из множества скоростей от нуля до с ровно половину, настаивая, что при различных значениях коэффициента n от единицы до бесконечности. И этот расчётный парадокс является ещё одним примером проблемы дихотомии, общей для вскх точных наук [8]. Напротив, релятивистская формула при с* = с дает единственное решение v = c, неправдоподобное своей независимостью от показателя преломления n.

Таким образом, теория Френеля и СТО расходятся как раз там (v << c), где они объединены выводом Лауэ, который якобы объяснил опыт Физо с релятивистских позиций. И при этом обе теории одинаково игнорируют три проблемы инерционной кинематики – позиционную, метрологическую и геометрическую, на которые указано выше. А решает эти проблемы метод особых чисел двойной размерности, представленный в авторских работах из списка литературы.

1. Черепанов О. А. Скрытые постулаты теории движений, аксиомы Ньютона и явления физики, моделируемые особыми числами. Об альтернативе гуманитарным представлениям точных наук. В сб. //Проблемы аксиоматики в гидро-газодинамике. – М.: “Век книги”, 2001. – С. 142-162.

2. Черепанов О. А. Логико-математические проблемы механики материальной точки. Негеометрическое моделирование движений по инерции.  Уфа: Фонд содействия развитию научных исследований (ФСРНИ), 1998.  28 с.

3. Черепанов О. А. Артефакты в основах механики и физики. Введение в арифмометрию и глобаллистику.  Уфа: ФСРНИ, 1998.  48 с.

4. Черепанов О. А. Опыты Араго и Физо против постулатов Эйнштейна. Световая квадроскорость в теории и в экспериментах.  Уфа: ФСРНИ, 1998.  48 с.

5. Черепанов О. А. Гравитация без потенциального поля и без притягивающей силы. Арифметические модели невесомости.  Уфа: ФСРНИ, 1998.  24 с.

6. Черепанов О. А. Дихотомия и диарезис.  Уфа: ФСРНИ, 1996. 125 с.

7. Черепанов О. А. Где начало того конца?  М.: “Гончаръ”, 1994.  184 с.

8. Черепанов О. А. Сингулярное удвоение в физике, математике и механике. В сб. //Проблемы аксиоматики в гидро-газодинамике.  М.: “Прометей”, 2000, вып. 8. – С. 137-142.