Многоуважаемый ___________________________________________

Второе уравнение непрерывности

Я.Г.Клюшин,

Академия Гражданской Авиации, Факультет Прикладной Математики
5-3-241, Будапештская ул., 192242, St. Petersburg, Russia
Telephone: 7-812-174-88-48, e-mail: Klyushin@shaping.org

Находится уравнение, обощающее уравнение непрерывности на случай ускоренного перетекания жидкости.

Скорость протекания через поверхность S количества жидкости Q

(1)

где v_n – проекция v на внешнюю нормаль к s . Скорость же изменения количества жидкости в объеме u , ограниченном поверхностью s, будет

^{Здесь, как и ниже, нижним индексом t обозначена частная производная по t. Используя теорему Гаусса, придем к тождеству, для всякого объема u

(2)
Откуда получим классическое уравнение непрерывности:
(3)
Если перетекание происходит ускоренно, вторая производная по времени от Q не будет равна нулю, и из равенства (1) получим

(4)

С другой стороны ускорение, с которым изменяется плотность в объеме u
, будет иметь вид
(5)

Для всякого объема u
из (4) и (5) имеем
(6)

Отсюда получаем второе уравнение непрерывности

(7)

Если перетекание происходит с постоянной скоростью, т.е. r
_tt = 0, v_t = 0, то, как нетрудно проверить, уравнение (7) переходит в (3). Учитывая (3) в соотношении (7), получим

(8)
Для неускоренного перетекания жидкости (8) сводится к тождеству. В общем случае оно должно выполняться одновременно с (3). Как и соотношение (3) соотношение (8) есть факт кинематический, не зависящий ни от каких предположений, кроме предположения об отсутствии источников внутри рассматриваемого объема.

Соотношение (8) означает, что уравнение (3) является необходимым, но недостаточным условием для законов сохранения.
Отметим в заключение, что аналогичные соотношения можно получить и для производных более высокого порядка.}